Уединим один из радикалов, например первый. Получим √<span><span>y </span>+2</span> = 2 + √<span><span>y </span>— 6</span> .
Возведем обе части в квадрат. После приведения подобных членов и сокращения на 4 будем иметь √<span><span>y </span>— 6</span> = 1, откуда<span> у </span>=7. Проверка показывает, что этот корень годен.
Замечание 1. Здесь и в дальнейшем мы считаем корни квадратные и вообще корни четных степеней арифметическими. См. <span>предварительные замечания </span>. Относительно корней нечетных степеней см. примечание к задаче 451.
Замечание 2. Проверка делается для того, чтобы обнаружить лишние корни (они могут получиться при возведении обеих частей уравнения в квадрат). В данной задаче лишних корней нет. Но возьмем уравнение √<span><span>y </span>+2</span> + √<span><span>y </span>— 6</span> = 2, отличающееся от данного только знаком. Решая его тем же способом, получим √<span><span>y </span>— 6</span> = —1. Возведя в квадрат, найдем тот же корень у =7. Он не годится; взятое уравнение вовсе не имеет решения. Здесь можно было бы обойтись и без проверки, так как и без того видно, что √<span><span>y </span>— 6</span> не может равняться —1 (см. замечание 1). Но в других случаях (см. задачи 426 и 432) без проверки обойтись нельзя.
Ответ <span>у </span>=7
__________________________________________________
424.
Решается, как предыдущая задача.
Ответ х = 6
__________________________________________________
425.
Уединив первый радикал, возведя в квадрат и упростив, получим х—1 = 2√<span><span>x </span>— 1</span> Снова возведя в квадрат, находим (х—1)2—4(х—1) = 0. Это уравнение можно разделить на х—1 , предварительно учтя, что х=1 есть один из корней. Тогда найдем другой корень <span>х </span>= 5. Можно также раскрыть скобки и решить квадратное уравнение. Проверка показывает, что оба корня годятся.
Ответ x1 = l, x2=5.
__________________________________________________
426.
Поступая как в предыдущей задаче, найдем х+22 = = 7√<span>3<span>x </span>— 2</span>, а отсюда
<span>x2</span>—103x+582 = 0. Это уравнение имеет два корня: x1 = 6 и x2=97. Данному уравнению удовлетворяет только первый корень, второй—лишний (он удовлетворяет уравнению √<span>3<span>x </span>— 2</span> — √<span><span>x </span>+ 3 </span> = 7, отличающемуся от данного знаком при радикале).
Ответ <span>х </span>= 6.
__________________________________________________
427.
Решается, как предыдущая задача. Из двух корней x1= —1; x2= 3 второй лишний.
Замечание. <span>х </span>= 3 есть корень уравнения — √<span><span>x </span>+ 1 </span>+ √<span>2<span>x </span>+ 3 </span>
Ответ х = —1
__________________________________________________
428.
Ответ x1 =34; x2=2.
__________________________________________________
429.
Ответ х = 4.
________________________________________________и т.д.
